堀田量子力学　posi的備忘録

第一章

Stern–Gerlach（SG）実験

あるスピンをもつ粒子をSG測定器に入射すると，その磁場方向に対して常に2つの方向に曲がる→量子化

磁場方向が$z$方向にかかっている場合，スピンは$z$軸の正の方向と負の方向に等しい距離だけ曲がる。それぞれの状態を$S_z=+1, -1$と区別する。このSG測定器を2つ並べ，1つ目のSG測定器で$+1$の状態（正の方向に曲がった粒子）だけ取り出した後，再び同じ方向を測定すると，常に$+1$の状態が測定される（反復可能性，第3章参照）。

一方，$z$方向のSG測定器で$+1$の状態だけ取り出した後，$x$方向のSG測定器で測定した場合，$S_x =+1, -1$が観測される。すなわち，$x$方向にも量子化されている。これは$y$方向でも同様である。さらに興味深いことに，2回目の測定で正の方向の状態だけ取り出した後，再び$z$方向のSG測定器で測定すると，一回目で$+1$の状態だけ取り出したにもかかわらず$S_z=+1, -1$の両方の状態が観測される。

では，$z$軸方向の測定の後，$x$軸方向の測定を連続して行う場合を考える。この時，(i)測定の前にすでに$S_z, S_x$が決定している，(ii)$S_z, S_x$は観測するまで未知のどちらだろうか。(i)は隠れた変数の理論と呼ばれ，現在は実験的に否定されている。

隠れた変数の理論

2粒子系を考える。すなわち，あるスピンをもつ粒子Aとは別に，独立にスピンをもつ粒子Bを考える。これらの粒子に対して次の相関量$D=\sigma_{yA}(\sigma_{y\prime B}-\sigma_{z\prime B})+\sigma_{zA}(\sigma_{y\prime B}+\sigma_{z\prime B})$を考える。

それぞれの物理量は測定前にすでに確定した値を持つとする。この時の組み合わせは$2^4=16$通り。このとき

となるので，同時に値を持つことはない。したがって

• (i): $\sigma_{yA}$に依らず$\sigma_{zA}=\pm 1$に対して$D=\pm 2$
• (ii): $\sigma_{zA}$に依らず$\sigma_{yA}=\pm 1$に対して$D=\pm 2$
• (iii): $\sigma_{yA}$に依らず$\sigma_{zA}=\pm 1$に対して$D=\mp 2$
• (iv): $\sigma_{zA}$に依らず$\sigma_{yA}=\pm 1$に対して$D=\mp 2$

となる。したがってすべての組に対して$D=\pm 2$が示せた。以下では，実際の量子系でこの相関量$D$がどう評価されるかを見る。

CHSH不等式

$\sigma_{yA}, \sigma_{zA}, \sigma_{z\prime B}, \sigma_{y\prime B}$が独立に確定しているならば，同時確率分布$\rm{Pr}(\sigma_{yA}, \sigma_{zA}, \sigma_{z\prime B}, \sigma_{y\prime B})$が存在する。この時，ある相関量$\sigma_{sA}\sigma_{s\prime B} (s=y, z, s\prime = y\prime , z\prime)$の期待値は

\[ \langle \sigma_{sA} \sigma_{s\prime B} \rangle = \sum_{\sigma_{yA}}\sum_{\sigma_{zA}}\sum_{\sigma_{y\prime B}}\sum_{\sigma_{z\prime B}}\sigma_{sA}\sigma_{s\prime B} \rm{Pr}(\sigma_{yA}, \sigma_{zA}, \sigma_{z\prime B}, \sigma_{y\prime B}) \]

と書ける。このとき，$D$の期待値は

\[ \langle D \rangle =\langle \sigma_{yA}\sigma_{y\prime B} \rangle - \langle \sigma_{yA}\sigma_{z\prime B} \rangle + \langle \sigma_{zA}\sigma_{y\prime B} \rangle + \langle \sigma_{zA}\sigma_{z\prime B} \rangle \]

となるが，隠れた変数の理論の下では$D=\pm 2$なので

\[ -2 \leq \langle \sigma_{yA}\sigma_{y\prime B} \rangle - \langle \sigma_{yA}\sigma_{z\prime B} \rangle + \langle \sigma_{zA}\sigma_{y\prime B} \rangle + \langle \sigma_{zA}\sigma_{z\prime B} \rangle \leq 2 \]

となる。これがCHSH不等式である。この範囲を超える量子系が作れる場合，その量子系では隠れた変数の理論が成り立たない。つまり，少なくとも普遍の理論ではないことが示される。

チレルソン不等式

少し先取りするが，実際にCHSH不等式が破れる量子状態を作れることを示す。

$\ket{+}, \ket{-}$を$\hat{\sigma}_z$の上向き状態，下向き状態に対応する固有状態とする。つまり，

\[ \left\{ \begin{array}{}
\hat{\sigma}_z\ket{+}=(+1)\ket{+} \\
\hat{\sigma}_z\ket{-}=(-1)\ket{-}
\end{array}
\right. \]

とする。物理量$D$に対応する演算子$\hat{D}$はパウリ行列$\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y, \hat{\sigma}_{y\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\sigma}_z+\hat{\sigma}_y), \hat{\sigma}_{z\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\sigma}_z - \hat{\sigma}_y)$を用いて

\[ \hat{D} = \hat{\sigma}_y \otimes \hat{\sigma}_{y\prime} - \hat{\sigma}_y \otimes \hat{\sigma}_{z\prime} + \hat{\sigma}_z \otimes \hat{\sigma}_{y\prime} + \hat{\sigma}_z \otimes \hat{\sigma}_{z\prime} \]

ここで，

\[ \begin{eqnarray*}
\hat{\sigma}_y \otimes \hat{\sigma}_{y\prime} &=& \hat{\sigma}_y \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\sigma}_z+\hat{\sigma}_y) \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\sigma}_y\otimes \hat{\sigma}_z) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\sigma}_y \otimes \hat{\sigma}_y)
\end{eqnarray*} \]

等を用いると，

\[ \hat{D} = \sqrt{2}\hat{\sigma}_y\otimes \hat{\sigma}_y + \sqrt{2}\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z \]

が導かれる。ここで，2つの量子系に対する基底を$\ket{+}_A\ket{+}_B, \ket{+}_A\ket{-}_B, \ket{-}_A\ket{+}_B, \ket{-}_A\ket{-}_B$とすれば，合成系の任意の量子状態$\ket{\psi}$は適当な複素係数$\alpha_i (i=0, 1, 2, 3), \sum_i |\alpha_i|^2 = 1$を用いて

\[ \ket{\psi} = \alpha_{0}\ket{+}_A\ket{+}_B + \alpha_{1}\ket{+}_A\ket{-}_B + \alpha_{2}\ket{-}_A\ket{+}_B + \alpha_{3}\ket{-}_A\ket{-}_B \]

と書ける。このとき，密度行列で表せば，

\begin{eqnarray*}
\hat{\rho} &=& \ket{\psi}\bra{\psi} \\
&=&|\alpha_0|^2\ket{+}_A\ket{+}_B\bra{+}_A\bra{+}_B + \alpha_0 \alpha^*_1\ket{+}_A\ket{+}_B\bra{+}_A\bra{-}_B + \alpha_0 \alpha^*_2\ket{+}_A\ket{+}_B\bra{-}_A\bra{+}_B + \alpha_0 \alpha^*_3\ket{+}_A\ket{+}_B\bra{-}_A\bra{-}_B \\
&+& \alpha_1 \alpha^*_0\ket{+}_A\ket{-}_B\bra{+}_A\bra{+}_B +|\alpha_1|^2\ket{+}_A\ket{-}_B\bra{+}_A\bra{-}_B + \alpha_1 \alpha^*_2\ket{+}_A\ket{-}_B\bra{-}_A\bra{+}_B + \alpha_1 \alpha^*_3\ket{+}_A\ket{-}_B\bra{-}_A\bra{-}_B \\
&+& \alpha_2 \alpha^*_0\ket{-}_A\ket{+}_B\bra{+}_A\bra{+}_B + \alpha_2 \alpha^*_1\ket{-}_A\ket{+}_B\bra{+}_A\bra{-}_B + |\alpha_2|^2\ket{-}_A\ket{+}_B\bra{-}_A\bra{+}_B + \alpha_2 \alpha^*_3\ket{-}_A\ket{+}_B\bra{-}_A\bra{-}_B \\
&+& \alpha_3 \alpha^*_0\ket{-}_A\ket{-}_B\bra{+}_A\bra{+}_B + \alpha_3 \alpha^*_1\ket{-}_A\ket{-}_B\bra{+}_A\bra{-}_B + \alpha_3 \alpha^*_2\ket{-}_A\ket{-}_B\bra{-}_A\bra{+}_B + |\alpha_3|^2\ket{-}_A\ket{-}_B\bra{-}_A\bra{-}_B
\end{eqnarray*}

となる。ここで，合成系の両方に対する$\hat{\sigma_z}$の期待値$\rm{Tr}(\hat{\rho}\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)$を考えると，

\begin{eqnarray*}
\rm{Tr}(\hat{\rho}\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)
&=& |\alpha_0|^2 \bra{+}_A\bra{+}_B (\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)\ket{+}_A\ket{+}_B + |\alpha_1|^2 \bra{+}_A\bra{-}_B (\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)\ket{+}_A\ket{-}_B + |\alpha_2|^2 \bra{-}_A\bra{+}_B (\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)\ket{-}_A\ket{+}_B + |\alpha_3|^2 \bra{-}_A\bra{-}_B (\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)\ket{-}_A\ket{-}_B \\
&=& |\alpha_0|^2 \bra{+}_A\bra{+}_B (+1)(+1) \ket{+}_A\ket{+}_B + |\alpha_1|^2 \bra{+}_A\bra{-}_B (+1)(-1) \ket{+}_A\ket{-}_B + |\alpha_2|^2 \bra{-}_A\bra{+}_B (-1)(+1)\ket{-}_A\ket{+}_B + |\alpha_3|^2 \bra{-}_A\bra{-}_B (-1)(-1)\ket{-}_A\ket{-}_B \\
&=& |\alpha_0|^2 - |\alpha_1|^2 - |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2
\end{eqnarray*}

となる。$\hat{D}$に対する不等式と比較するために最大・最小を考えると，拘束条件$\sum_i |\alpha_i|^2 = 1$付きの最大化（最小化）なのでLagrangeの未定乗数法を用いて計算すればよい。

結果は，$|\alpha_0|^2, |\alpha_3|^2 = 0$かつ$|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2=1$のとき最小値-1，$|\alpha_1|^2, |\alpha_2|^2 = 0$かつ$|\alpha_0|^2 + |\alpha_3|^2=1$のとき最大値1となる。$\rm{Tr}(\hat{\rho}\hat{\sigma}_z\otimes \hat{\sigma}_z)$に対しても同様の計算ができる。

したがって，$\langle \hat{D} \rangle$の範囲は

\[ -2\sqrt{2} \leq \langle \hat{D} \rangle \leq -2\sqrt{2} \]

となる。これがチレルソン不等式で，量子力学が予測する相関量の範囲である。CHSH不等式とチレルソン不等式の差である，$-2 \sqrt{2} \lt \hat{D} \leq -2$ または$2 \lt \hat{D} \leq 2 \sqrt{2}$となる量子状態が作れれば隠れた変数の理論を破る量子状態となる。特に，チレルソン不等式の等号成立条件は$|\alpha_0|^2, |\alpha_3|^2 = 0$かつ$|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2=1$および$|\alpha_1|^2, |\alpha_2|^2 = 0$かつ$|\alpha_0|^2 + |\alpha_3|^2=1$である。すなわち，

\begin{eqnarray*}
\ket{\psi_1}&=& \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}_A\ket{+}_B + \ket{-}_A\ket{-}_B) \\
\ket{\psi_2}&=& \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}_A\ket{-}_B + \ket{-}_A\ket{+}_B) \\
\ket{\psi_3}&=& \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}_A\ket{+}_B - \ket{-}_A\ket{-}_B) \\
\ket{\psi_4}&=& \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}_A\ket{-}_B - \ket{-}_A\ket{+}_B)
\end{eqnarray*}

となる。これらの状態はBell状態と呼ばれる。特に，これらの状態は部分系の量子状態$\ket{\psi_A}, \ket{\psi_B}$の直積状態$\ket{\psi_A} \otimes \ket{\psi_B}$では作ることができない。すなわち，量子もつれが隠れた変数の理論を破る重要な役割を示す。