ラグランジアンの導出とエネルギー保存則

　最小作用の原理とオイラー・ラグランジュ方程式

オイラーは「力学系の運動が最小作用の原理に従うこと」を示した。時刻$t=t_1, t=t_2$にある異なる一般座標$q_1, q_2$にある力学系を考える。最小作用の原理によれば，系はこの時刻の間を作用

$$S=\int^{t_2}_{t_1}L(q,\dot{q},t)dt$$

が停留値を取るように運動する（$q$は一般座標，$\dot{q}$は一般速度）。すなわち，$S$の全微分を考えて，

$$\delta S=\frac{\partial S}{\partial q}\delta q + \frac{\partial S}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q} + \frac{\partial S}{\partial t}\delta t$$
となり，右辺第1項は
$$\frac{\partial S}{\partial q}\delta q = \int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q dt$$

右辺第2項は部分積分を用いて
\begin{eqnarray}
\frac{\partial S}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q} &=& \int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} dt\\
&=& \left.\frac{\partial L}{\partial q}\delta q \right|^{t_2}_{t_1} - \int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q dt
\end{eqnarray}
右辺第3項は作用$S$が時間に対する定積分であることから
$$\frac{\partial S}{\partial t}\delta t = 0$$
となる。

結局，

\begin{eqnarray}
\delta S &=& \int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q dt + \left.\frac{\partial L}{\partial q}\delta q \right|^{t_2}_{t_1} - \int^{t_2}_{t_1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q dt \\
&=& \left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right|^{t_2}_{t_1} +\int^{t_2}_{t_1}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta qdt \\
\end{eqnarray}

である。ここで，端点での$\delta q$の値を$\delta q(t_1) = \delta q(t_2)=0$とすると，$\delta S = 0$となる条件は

$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$$

である。これはオイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。

オイラー・ラグランジュ方程式を用いたエネルギー保存則の導出

複数の質点からなる系を考える。ポテンシャルエネルギー$V$が時間に依存しない時，ラグランジアン$L$は次のように書ける。

$$L=\sum_{i}\frac{1}{2}m\dot{q_i}^2 - V(q)$$

$L$の時間微分を考えると，連鎖律より

$$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial L}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d\dot{q}}{dt} $$

となる。

ここで，オイラー・ラグランジュ方程式を第1項に代入すると

\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial t} &=& \sum_i\left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\dot{q_i} + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{d\dot{q_i}}{dt} \\
&=& \sum_i\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}\right)
\end{eqnarray}

よって，

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}- L \right) = 0$$

となる。ここで，

$$E=\left( \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}- L \right)$$

と置けば，$E$が時間に依存しないことが分かる。そこで，この$E$を独立系のエネルギーと呼ぶ。（4/19）