ラグランジアンの導出とエネルギー保存則

　最小作用の原理とオイラー・ラグランジュ方程式

オイラーは「力学系の運動が最小作用の原理に従うこと」を示した。時刻$t=t_1,t=t_2$にある異なる一般座標$q_1,q_2$にある力学系を考える。最小作用の原理によれば，系はこの時刻の間を作用

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$

が停留値を取るように運動する（$q$は一般座標，$\dot{q}$は一般速度）。すなわち，$S$の全微分を考えて，

$$\delta S=\frac{\partial S}{\partial q}\delta q+\frac{\partial S}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}+\frac{\partial S}{\partial t}\delta t$$
となり，右辺第1項は
$$\frac{\partial S}{\partial q}\delta q={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt$$

右辺第2項は部分積分を用いて
$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial S}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}& =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}dt\\ & =& {\frac{\partial L}{\partial q}\delta q|}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta qdt\end{array}$$
右辺第3項は作用$S$が時間に対する定積分であることから
$$\frac{\partial S}{\partial t}\delta t=0$$
となる。

結局，

$$\begin{array}{rcl}\delta S& =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt+{\frac{\partial L}{\partial q}\delta q|}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta qdt\\ & =& {\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q|}_{t_1}^{t_2}+{\int }_{t_1}^{t_2}(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})\delta qdt\end{array}$$

である。ここで，端点での$\delta q$の値を$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$とすると，$\delta S=0$となる条件は

$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$

である。これはオイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。

オイラー・ラグランジュ方程式を用いたエネルギー保存則の導出

複数の質点からなる系を考える。ポテンシャルエネルギー$V$が時間に依存しない時，ラグランジアン$L$は次のように書ける。

$$L=\sum _i\frac{1}{2}m{\dot{q_i}}^2-V(q)$$

$L$の時間微分を考えると，連鎖律より

$$\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\partial L}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d\dot{q}}{dt}$$

となる。

ここで，オイラー・ラグランジュ方程式を第1項に代入すると

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial t}& =& \sum _i\left(\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)\dot{q_i}+\sum _i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{d\dot{q_i}}{dt}\\ & =& \sum _i\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}\right)\end{array}$$

よって，

$$\frac{\partial }{\partial t}(\sum _i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}-L)=0$$

となる。ここで，

$$E=(\sum _i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}-L)$$

と置けば，$E$が時間に依存しないことが分かる。そこで，この$E$を独立系のエネルギーと呼ぶ。（4/19）